الفرق بين مربعين = (مجموع الأول والثاني) (فرق الأول والثاني)

تحليل المقادير الجبرية عن طريق التعرف إلى أنماط خاصة هو جزء أساسي من العلوم الرياضية، والفرق بين مربعين هو أحد هذه الصيغ الأكثر شهرة.

في البداية يكون التركيز على هذه الصيغة ولكن من ثم ومع تطور مهارتك سوف تصبح تطبيقات تحليل المقادير الجبرية جزء أساسي من أي مسألة حسابية!

لا تقلق، وإليك الخبر الجيد… وهو أن هذه الصيغة وبشكل خاص الفرق بين مربعين تعتبر من أسهل وأمتع صيغ التحليل.

قبل أي شيء – ما هو الحد المربع؟

الحد المربع هو حد ناتج عن ضرب العامل بنفسه، أو بمعنى آخر هو حد يملك جذر تربيعي، والأمثلة التالية ستوضح المقصود.

الحد المربع	حاصل ضرب	الجذر التربيعي	التوضيح
A2	A * A	A	A2 حد مربع، فهو حاصل ضرب A بـ A بمعنى الجذر التربيعي له هو A
9Y2	3Y * 3Y	3Y	9Y2 حد مربع، فهو حاصل ضرب 3Y بـ 3Y بمعنى الجذر التربيعي له هو 3Y
4 = 22	2 * 2	2	22 حد مربع، فهو حاصل ضرب 2 بـ 2 بمعنى الجذر التربيعي له هو 2
25 = 52	5 * 5	5	52 حد مربع، فهو حاصل ضرب 5 بـ 5 بمعنى الجذر التربيعي له هو 5
1	1 * 1	1	12 حد مربع، فهو حاصل ضرب 1 بـ 1 بمعنى الجذر التربيعي له هو 1
X4 = X2^2	X2 * X2	X2	X2^2 حد مربع، فهو حاصل ضرب X2 بـ X2 بمعنى الجذر التربيعي له هو X2

الفرق بين مربعين

(a² – b²) = (a + b) (a – b) = (a – b) (a + b)

(حد أول مربع – حد ثاني مربع) = (الحد الأول – الحد الثاني) * (الحد الأول + الحد الثاني).

الفرق بين مربعين (الفرق بين حدين مربعين) = جداء هذين الحدين بإشارات مختلفة بينهما (أي مجموع هذين الحدين مضروب بفرقهما).

لنشرح الأمر أكثر، لدينا (حد مربع) مطروح من (حد مربع)، في بعض الحالات يكون التعامل مع هذه الصيغة بشكل مباشر سهل، ولكن في حالات أخرى يكون أكثر تعقيدًا لذا نلجأ للتحليل لينتج لدينا جداء قوسين قوس يحتوي (الحد الأول + الحد الثاني) والقوس الآخر (الحد الأول – الحد الثاني).

ملاحظة | الضرب عملية تبديلية وبالتالي يمكن تغيير ترتيب القوسين وجعل قوس الفرق قبل قوس المجموع.

إثبات صحة صيغة فرق مربعين – الإثبات الرياضي

حتى نثبت صحة الصيغة السابقة لنبدأ من الطرف الثاني ونتحقق فيما إذا كنا بالفعل سوف نصل إلى الطرف الأول أم لا.

(a – b) (a + b)

بالاعتماد على قانون التوزيع نجد أن:

(a – b) (a + b) = aa + ab – ba – bb

ومن قانون التبادل يكون:

ab – ba = 0

وبالتالي:

(a – b) (a + b) = aa – bb = a² – b²

وهذه هي صيغة الفرق بين مربعين > وبالتالي الصيغة صحيحة أيًّ كان a وb من R.

إثبات صحة صيغة فرق مربعين – الإثبات الهندسي

يكن إثبات صيغة الفرق بين مربعين هندسيًا من خلال إيجاد الفرق بين مساحتين مربعين في مستوي. ليكن لدينا:

• المربع الأول طول ضلعه a وبالتالي مساحته a².
• المربع الثاني طول ضلعه b وبالتالي مساحته b².

بفرض أن a > b لنجد الفرق بين مساحتي المربعين أي a² – b²

من خلال الرسم نلاحظ أن المساحة المطلوبة هي مساحة المربع الكبير بعد إزالة المربع الصغير منه، وأبعاد الشكل الناتج هي:

• a
• a – b
• b
• b
• a – b
• a

نقوم بتحويل الشكل إلى مستطيل عن طريق نقل الجزء السفلي (a-b * b) إلى اليمين، وأبعاد المستطيل الناتج تكون:

• a + b
• a – b

مساحة المستطيل = جداء الضلع القصيرة بالضلع الطويلة، وهذا يعني أن مساحة المستطيل تساوي

• (a + b) * (a – b)

مساحة المستطيل هي مساحة الفرق بين المربعين.

• a² – b² = (a + b) (a – b)

ملاحظات مهمة!

ملاحظة 1 | صيغة الفرق بين مربعين تعمل بالاتجاهين

صيغة فرق مربعي حدين، هي صيغة تعمل بالاتجاهين، أي يمكنك أن تنطلق من الطرف الأول إلى الثاني أو العكس، حسب المسألة والطريقة التحليل المطلوبة.

ملاحظة 2 | الصيغة لا تعمل في مجموع مربعين

صيغة الفرق بين مربعين وطريقة تحليلها تقتصر فقط على الفرق، فلا يمكن تطبيقها على المجموع!

أي من الخطأ أن نحلل (a² + b²) لأنه ما من مقدار مضروب بمقدار قادر على إعطاء (a² + b²)

وبالتالي في حال كان عليك تحليل صيغة المجموع (a² + b²) سيكون عليك الاعتماد على مجموعة الأعداد التخيلية فيصبح الحد b² هو (– b² i²) وذلك لأن i² = -1

خطوات تحليل أو تطبيق الفرق بين مربعين

يمكن تمييز 3 خطوات أساسية لتحليل الفرق بين مربعين.

الخطوة الأولى – التحقق من الصيغة

الخطوة الأولى تكمن في التحقق من أن الصيغة بالفعل هي فرق مربعي حدين، ويتم ذلك من خلال البحث عن مكونات الصيغة أو العمل على إظهارها (عن طريق تغيير في المعادلة).

بعد الوصول إلى أحد الشكلين:

• (a² – b²)
• (a – b) (a + b)

يمكن تطبيق القاعدة والانتقال من الجداء إلى الفرق أو من الفرق إلى الجداء حسب المطلوبة.

الخطوة الثانية – تحديد جذر الحد المربع

سواء كان المطلوب هو التحليل أو كان المطلوب هو التركيب، فلضمان تطبيق القاعدة بشكل صحيح تأكد من تحديد الجذور.

• a² جذره a
• b² جذره b

الخطوة الثالثة – تركيب أو تحليل الفرق بين مربعين

• تحليل الفرق بين مربعين >> قم برسم الأقواس وضع الإشارات المتبادلة ومن ثم ضع الحد الأول والحد الثاني، وأكمل التحليل.
• لتركيب الفرق بين مربعين >> قم بوضع الحد الأول للتربيع والحد الثاني للتربيع وإشارة الناقص بينهما، وأكمل التركيب.

أمثلة عن تحليل الفرق بين مربعين

9X² – 25Y²

الحد الأول هو 3X والحد الثاني هو 5Y وبتطبيق الفرق بين مربعين:

9X² – 25Y² = (3X + 5Y) (3X – 5Y)

0.25X² – 0.81Y²

الحد الأول هو 0.5X والحد الثاني هو 0.9Y وبتطبيق الفرق بين مربعين:

0.25X² – 0.81Y² = (0.5X + 0.9Y) (0.5X – 0.9Y)

3X³ – 12X

بإخراج 3X عامل مشترك نجد أن

3X³ – 12X = 3X (X² – 4)

نقوم بتحليل العامل (X² – 4) بالاعتماد على الفرق بين مربعين حيث أن الحد الأول هو X والحد الثاني هو 2

وبتطبيق الفرق بين مربعين:

3X³ – 12X = 3X (X² – 4) = 3X (X + 2) (X – 2)

X⁴ – 16

الحد الأول هو X² والحد الثاني هو 4 وبتطبيق فرق بين مربعين:

X⁴ – 16 = (X² + 4) (X² – 4)

نقوم بتحليل العامل (X² – 4) بالاعتماد على الفرق بين مربعين حيث أن الحد الأول هو X والحد الثاني هو 2 وبتطبيق الفرق بين مربعين:

X⁴ – 16 = (X² + 4) (X + 2) (X – 2)

10000X² – 400

لتسهيل الحساب نخرج 100 عامل مشترك فيكون

10000X² – 400 = 100 (100X² – 4)

نقوم بتحليل العامل (100X² – 4) بالاعتماد على الفرق بين مربعين حيث أن الحد الأول هو 10X والحد الثاني هو 2 وبتطبيق فرق بين مربعين:

10000X² – 400 = 100 (10X + 2) 10(X – 2)

تطبيقات فرق مربعي حدين

توجد العديد من تطبيقات فرق مربعي حدين، أهمها:

1 – تحليل كثيرات الحدود إلى جداء عوامل

باستخدام صيغة الفرق بين مربعين، يمكن تحليل كثيرات الحدود وتبسيط التركيب.

أمثلة:

• X⁴ – 16 = (x² + 4) (x² – 4) = (x² + 4) (x + 2) (x – 2)
• X⁴ – 1 = (x² + 1) (x² – 1) = (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

انتبه | العوامل (x² + 4) من المثال الأول، (x² + 1) من المثال الثاني، لا يمكن تحليلها لأنها ليست فرق مربعين.

2 – حالة مجموع مربعين (الأعداد المركبة)

حتى الآن كنا نركز على أن الصيغة تخص الفرق فقط، ولا يمكنك تحليل المجموع، هذا صحيح في مجموعة الأعداد الحقيقية R.

في المقابل يمكن تحليل المجموع في مجموعة الأعداد التخيلية I. ويتم ذلك عن طريق معامل العدد التخيلي (العدد المركب) العامل i (i² = -1)

أمثلة:

• x² + 4 = x² – 4i² = (x + 2i) (x – 2i)
• 4x² + 1 = 4x² – i² = (2x + i) (2x – i)

توضيح | i² = -1 وبالتالي فإن i² = 1- وبهذا تم تحويل مجموع مربعين إلى فرق مربعين في مجموعة الأعداد التخيلية.

3 – تعديل المقامات غير المنطقية

هذه الحالة عادةً ما نصادفها عند وجود الجذور التربيعية في المقام، وبالتالي من خلال الاعتماد على الفرق بين مربعين يمكن تحريك الجذر وجعل المقام أبسط.

ملاحظة | كذلك فإن هذا التطبيق مفيد جدًا في إزالة حالات عدم التعيين والتي تستخدم في حساب نهايات التوابع.

4 – الحساب الذهني

يمكن الاعتماد على صيغة الفرق بين مربعين في الحساب الذهني، وذلك في حال كان المطلوب هو جداء رقمين، هذين الرقمين المتوسط بينهما رقم يسهل تربيعه، بهذه الحالة يتم الاعتماد على هذا المتوسط والصيغة.

مثال:

103 * 97

هذا الجداء صعب نسبيًا ليتم حسابه ذهنيًا، ولكن إذا قمنا بتحديد العدد المتوسط بين العديدين.

103 + 97 = 200

200 / 2 = 100

العدد المتوسط هو 100، ومن السهل أن نقول بتربيع الـ 100، لذا نعتمد عليها في تحويل الجداء السابق إلى فرق مربعين.

من خاصية العدد المتوسط لاحظ أن:

103 = 100 + 3

97 = 100 – 3

هذا يمكننا من كتابة:

103 * 97 = (100 + 3) * (100 – 3) = 100² – 3² = 9991

5 – فرق مربعين متتاليين

إذا كان لدينا n وn+1 عددين متتاليين، فإن الفرق بين المربعين في هذه الحالة يكون:

(n+1)² – n² = (n+1 + n) * (n+1 – n) = (2n + 1) * (1) = 2n +1

لاحظ | الفرق بين مربعي عددين متتاليين دائمًا هو عدد فردي.

مثال:

• 4² – 3² = 2*3 + 1 = 7

حيث أن:

• n = 3
• n + 1 = 4

المصادر

• Difference of two squares – Wikipedia
• Factoring Difference of Two Perfect Squares – chili math
• Factoring The Difference Of Two Perfect Squares – krista king math